Question

【題目】已知函數(shù)

(1)若討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求的值(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù),如.

參考數(shù)據(jù):

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增． （2）2

【解析】

（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，討論的取值范圍，令或，解不等式即可求解.

（2）兩函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn) ，則方程

即方程在只有一個(gè)根, 令，研究

的單調(diào)性，求出的零點(diǎn)，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間即可.

解：（1）

對(duì)于函數(shù)

當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，則，解得

在單調(diào)遞減；

令，解得，所以在單調(diào)遞增．

（2）且兩函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn) ，則方程

即方程在只有一個(gè)根

令，則

令，則

在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故

注意到在無(wú)零點(diǎn)，在僅有一個(gè)變號(hào)的零點(diǎn)

在 單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到

根據(jù)題意為 的唯一零點(diǎn)即

消去，得：

令，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增

，