【題目】已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線過點,傾斜角為.
(1)求曲線的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于,兩點,求的值.
【答案】(1),(為參數(shù));(2).
【解析】
(1)將曲線的極坐標方程兩邊同乘,根據(jù)公式即可化簡為直角坐標方程;根據(jù)已知信息,直接寫出直線的參數(shù)方程,整理化簡即可;
(2)聯(lián)立曲線的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程,得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,求得結(jié)果.
(1)因為,所以,
所以,即曲線的直角坐標方程為:,
直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),
即(為參數(shù)).
(2)設(shè)點,對應(yīng)的參數(shù)分別為,,
將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程,
得,
整理,得,
所以,
因為
所以=,
=4,
所以=.
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【題目】在三棱柱中, , , 為的中點.
(1)證明: 平面;
(2)若,點在平面的射影在上,且側(cè)面的面積為,求三棱錐的體積.
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【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間,我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng),在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時.狠抓質(zhì)量管理,不定時抽查口罩質(zhì)量,該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個,將其質(zhì)量指標值分成以下五組:,,,,,得到如下頻率分布直方圖.
(1)規(guī)定:口罩的質(zhì)量指標值越高,說明該口罩質(zhì)量越好,其中質(zhì)量指標值低于130的為二級口罩,質(zhì)量指標值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩,再從中抽取3個,記其中一級口罩個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)在2020年“五一”勞動節(jié)前,甲,乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購,其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為,,記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為,,
①求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
②求當(dāng)的數(shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.
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【題目】己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點,點B為拋物線的焦點,P在拋物線上且滿足,當(dāng)取最大值時,點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
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【題目】正方體中,是棱的中點,是側(cè)面上的動點,且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.
①,使得;
②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;
③與平面所成銳二面角的正切值為;
④正方體的各個側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個.
其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)
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【題目】近幾年,電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動了快遞業(yè)的迅速增長,快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續(xù)重”的計價方式.首重是指最低的計費重量,續(xù)重是指超過首重部分的計費重量,不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網(wǎng)點將快件的攬收價格定為首重(不超過一公斤)8元,續(xù)重2元/公斤(例如,若一個快件的重量是0.6公斤,按8元計費;若一個快件的重量是1.4公斤,按元元元計費).根據(jù)歷史數(shù)據(jù),得到該網(wǎng)點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示
(1)根據(jù)樣本估計總體的思想,將頻率視作概率,求該網(wǎng)點攬收快件的平均價格;
(2)為了獲得更大的利潤,該網(wǎng)點對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位:元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)(單位:百件)之間的關(guān)系”進行調(diào)查研究,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
每天攬收快遞件數(shù)(百件) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每件快遞的平均成本(元) | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個回歸方程:
方程甲:,方程乙:.
①為了評價兩種模型的擬合效果,根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應(yīng)回歸方程,將以下表格填寫完整(結(jié)果保留一位小數(shù)),分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和,,并依此判斷哪個模型的擬合效果更好(備注:稱為相應(yīng)于點的殘差,殘差平方和;
每天攬收快遞件數(shù)/百件 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天快遞的平均成本/元 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
模型甲 | 預(yù)報值 | 5.2 | 5.0 | 4.8 | ||
殘差 | 0.2 | 0.4 | ||||
模型乙 | 預(yù)報值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
預(yù)報值 | 0 | 0.1 |
②預(yù)計該網(wǎng)點今年6月25日(端午節(jié))一天可以攬收1000件快遞,試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計該網(wǎng)點當(dāng)天的總利潤(總利潤=(平均價格-平均成本)×總件數(shù)).
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點,F為線段BC上的動點.
(1)求證:AE⊥平面PBC;
(2)試確定點F的位置,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.
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