Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，、分別是、上的點(diǎn)，且平面．

（Ⅰ）求證：為的中點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)與平面所成的角最大時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)即可證出.

（Ⅱ）首先作出線面角，利用三角形的面積相等可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)，連接，

平面平面，

平面，平面

則，

底面是正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

為的中點(diǎn).

（Ⅱ）由底面是正方形，且，則,

又底面，所以，

又，且，

所以平面，即，

又，所以平面，

在平面內(nèi)，過作，連接，

則與平面所成的角最大.

設(shè)，則，

由，即，解得，

，即，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則，，，，

， ，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，

所以，、

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

，即，

令，則，，

所以

，

所以二面角的余弦值為.