Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)設(shè)為.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點(diǎn)恰為的零點(diǎn)，試求，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，求出導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由（Ⅰ）知，利用韋達(dá)定理以及極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的值為0，得，，將表達(dá)成，再代入各項(xiàng)對(duì)應(yīng)得值即可。

（Ⅲ）根據(jù)題意，解出的極值點(diǎn)，代入，可得與的等量關(guān)系，再結(jié)合（Ⅱ）中的不等關(guān)系解出的范圍，將，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和用表達(dá)出來，構(gòu)造一個(gè)新的關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可求，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍。

（Ⅰ），.

若，，在上單調(diào)遞增；

若，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ；

（Ⅱ）因有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由（Ⅰ）知，

且，，.

于是，

.

（Ⅲ）由，則的極值點(diǎn)為.

于是，，即.顯然，，則.

由（Ⅱ）知，，，則，解得或.

于是，.

故，的所有極值之和為，

因，若，則，在上單調(diào)遞減，

故.

若，知時(shí)有，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故.

因此，當(dāng)時(shí)，所求的取值范圍為.當(dāng)時(shí)，所求的取值范圍為，

綜上，，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍是 .