Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a無極大

【解析】

解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2ln x，

f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；

②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，

從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；

當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．