Question

【題目】已知值域為[﹣1，+∞）的二次函數(shù)滿足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的兩個實根x1 ， x2滿足|x1﹣x2|=2．
（1）求f（x）的表達式；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx在區(qū)間[﹣1，2]內(nèi)的最大值為f（2），最小值為f（﹣1），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），可得f（x）的圖象關(guān)于x=﹣1對稱，
∴設(shè)f（x）=a（x+1）2+h=ax2+2ax+a+h，
∵函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，+∞），可得h=﹣1，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣2，x1 x2=1+，
∴x1﹣x2==2，解得：a=﹣h=1，
∴f（x）=x2+2x；
（2）由題意得函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣1，2]遞增，
又g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k﹣2）x=，
∴≤﹣1，即k≤0，
綜上：k≤0．
【解析】（1）先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得二次項系數(shù)，從而求出f（x）的表達式；
（2）根據(jù)g（x）的單調(diào)性判斷出函數(shù)的對稱軸，從而求出k的范圍即可。