【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長為,且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).在線段上是否存在點(diǎn),使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出的取值范圍;若不存在,
請說明理由;
(3)設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動,,且點(diǎn)到直線的距離等于,試求動點(diǎn)的軌
跡方程.
【答案】(1) .
(2).
(3) .
【解析】
分析:(1)橢圓方程可設(shè)為,利用兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn),且短軸長為2,即可求得橢圓方程;
(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形.因?yàn)橹本與軸不垂直,所以可設(shè)直線的方程為,,與橢圓方程聯(lián)立,再利用韋達(dá)定理.根據(jù)以為鄰邊的平行四邊形是菱形等價于得 ,即 ,,由此可確定的取值范圍.
(3)設(shè),由得 ①
又點(diǎn)在橢圓上,得 ②
聯(lián)立①、②得 ,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于,由此能求出D點(diǎn)軌跡方程.
詳解:
(1,由題意得,
所以,
因此所求橢圓方程為.
(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形.
因?yàn)橹本與軸不垂直,所以可設(shè)直線的方程為,坐標(biāo)分別為
.
由 得 .
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 .
由于,其中,
由得 ,即 ,
因此.
(3)設(shè),由得 ①
又點(diǎn)在橢圓上,得 ②
聯(lián)立①、②得 ③
由,得,
兩邊平方得 ,則得.
即 .
將③代入上式得 ,
化簡,得點(diǎn)的軌跡方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過,,三點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)N 的直線被圓截得的弦AB的長為,求直線的傾斜角.
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【題目】a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;
②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;
③直線AB與a所成角的最小值為45°;
④直線AB與a所成角的最小值為60°;
其中正確的是(填寫所有正確結(jié)論的編號)
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【題目】已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個實(shí)數(shù)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在多面體中,平面平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)請指出函數(shù)的定義域、周期性和奇偶性;(不必證明)
(2)請以正弦函數(shù)的性質(zhì)為依據(jù),并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明:在區(qū)間上單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在,很多人都喜歡騎“共享單車”,但也有很多市民并不認(rèn)可.為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度,某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民,得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本,具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表:
附:,.
根據(jù)表中的數(shù)據(jù),下列說法中,正確的是( )
A. 沒有95% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
B. 有99% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
C. 可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
D. 可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了調(diào)研當(dāng)代中國高中生的平均年齡,從各地多所高中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行年齡統(tǒng)計,得到結(jié)果如下表所示:
年齡(歲) | |||||
數(shù)量 | 6 | 10 | 12 | 8 | 4 |
(Ⅰ)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表,試估計這批學(xué)生的平均年齡;
(Ⅱ)若在本次抽出的學(xué)生中隨機(jī)挑選2人,記年齡在間的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】城市公交車的數(shù)量太多造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15名,將他們的候車時間(單位:分鐘)作為樣本分成5組,如下表所示:
組別 | 候車時間 | 人數(shù) |
一 | [0,5) | 2 |
二 | [5,10) | 6 |
三 | [10,15) | 4 |
四 | [15,20) | 2 |
五 | [20,25] | 1 |
(1)求這15名乘客的平均候車時間
(2)估計這60名乘客候車時間少于10分鐘的人數(shù).
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