【題目】已知函數(shù)的定義域為(0,+),若在(0,+)上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在(0,+)上為增函數(shù),則稱為”二階比增函數(shù)”。我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為1,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為2。
(1)已知函數(shù),若∈1,求實數(shù)的取值范圍,并證明你的結(jié)論;
(2)已知0<a<b<c,∈1且的部分函數(shù)值由下表給出:
t | 4 |
求證:;
(3)定義集合,且存在常數(shù)k,使得任取x∈(0,+),<k},請問:是否存在常數(shù)M,使得任意的∈,任意的x∈(0,+),有<M成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,說明理由。
【答案】(1)≤0;(2)見解析;(3)0
【解析】
(1)由∈,即在(0,+)是增函數(shù),利用單調(diào)性的定義求解即可;
(2)由f(x)∈Ω1,取0<x1<x2<x1+x2,可得.由表格可知:f(a)=d,f(b)=d,f(c)=t,f(a+b+c)=4,0<a<b<c<a+b+c,利用“一階比增函數(shù)”可得,再利用不等式的性質(zhì)即可得出;
(3)根據(jù)“二階比增函數(shù)”先證明f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立.再證明f(x)=0在(0,+∞)上無解.即可得出.
(1)解:因為∈,即在(0,+)是增函數(shù),
當(dāng)≤0,函數(shù)顯然為增函數(shù);
當(dāng)>0,
任取,則
.
,
當(dāng)≤0,,, 函數(shù)為增函數(shù)
當(dāng)>0,
當(dāng)時,,,,
所以,即,所以在上為減函數(shù).
當(dāng)時,,,,
所以,即,所以在上為增函數(shù).
所以≤0,
(2)因為∈,且0<a<b<c<a+b+c,
所以,所以,
同理可證,,
三式相加得,所以。
因為,所以,而0<a<b,所以d<0,所以。
(3)因為集合,且存在常數(shù)k,使得任取x∈(0,+),<k},
所以 ∈,存在常數(shù)k,使得<k對x∈(0,+)成立。
我們先證明≤0對x∈(0,+)成立:假設(shè) ∈(0,+),使得>0,記>0,
因為是二階比增函數(shù),即是增函數(shù)。所以當(dāng)x>時,>,所以 ,
所以一定可以找到一個>,使得>>k,這與<k對∈(0,+)成立矛盾,
≤0對x∈(0,+)成立,所以 ∈,≤0對x∈(0,+)成立。
下面我們證明在(0,+)上無解:
假設(shè)存在>0,使得=0,則因為是二階增函數(shù),即是增函數(shù),
一定存在>>0,>,這與上面證明的結(jié)果矛盾。所以在(0,+)上無解。
綜上,我們得到 ∈,<0對∈(0,+)成立,
所以存在常數(shù)M≥0,使得 ∈,x∈(0,+),有M成立,
又令=(>0),則<0對x∈(0,+)成立,
又有在(0,+)上是增函數(shù),所以,
而任取常數(shù)k<0,總可以找到一個>0,使得>時,有>k,所以M的最小值為0。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為,若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①在上是單調(diào)函數(shù);②在上的值域是,則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
B. 函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”
C. 函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
D. 函數(shù) (且)不存在“和諧區(qū)間”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的課外閱讀時間情況,某學(xué)校隨機抽取了50人進行統(tǒng)計分析,把這50人每天閱讀的時間(單位:分鐘)繪制成頻數(shù)分布表,如下表所示:
閱讀時間 | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100) | [100,120] |
人數(shù) | 8 | 10 | 12 | 11 | 7 | 2 |
若把每天閱讀時間在60分鐘以上(含60分鐘)的同學(xué)稱為“閱讀達人”,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果中男女生閱讀達人的數(shù)據(jù),制作出如圖所示的等高條形圖:
(1)根據(jù)已知條件完成2x2列聯(lián)表;
男生 | 女生 | 總計 | |
閱讀達人 | |||
非閱讀達人 | |||
總計 |
(2)并判斷是否有的把握認為“閱讀達人”跟性別有關(guān)?
附:參考公式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),f(x)=|x﹣a|
(Ⅰ)當(dāng)a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|;
(Ⅱ)若f(x)≤1的解集為[0,2],+=a(m>0,n>0),求證:m+2n≥4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù)).以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求圓C的極坐標方程;
(Ⅱ)直線l的極坐標方程是ρ(sinθ+cosθ)=3 , 射線OM:θ=與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖象在直線上方,求的取值范圍;
(3)若函數(shù),,是否存在實數(shù)使得的最小值為0?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于回歸分析的說法中錯誤的有( )個
(1). 殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬,則回歸方程的預(yù)報精確度越高.
(2). 回歸直線一定過樣本中心。
(3). 兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好。
(4) .甲、乙兩個模型的分別約為0.88和0.80,則模型乙的擬合效果更好.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,當(dāng)a,,時,有成立.
Ⅰ求在區(qū)間1上的最大值;
Ⅱ若對任意的都有,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】禽流感一直在威脅我們的生活,某疾病控制中心為了研究禽流感病毒繁殖個數(shù)(個)隨時間(天)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖個數(shù) | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
作出散點圖可看出樣本點分布在一條指數(shù)型函數(shù)的周圍.
保留小數(shù)點后兩位數(shù)的參考數(shù)據(jù):
,,,,,,,,其中
(1)求出關(guān)于的回歸方程(保留小數(shù)點后兩位數(shù)字);
(2)已知,估算第四天的殘差.
參考公式:
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