Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點．當直線PB1的方程為時，線段PB1的長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)點Q滿足： ．求證：△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：設(shè)， ，（1）根據(jù)直線的方程為時，線段的長為，可分別求得和，從而求得橢圓的標準方程；（2）方法一：直線的斜率為，由得直線的斜率為，即可分別表示出直線和直線的方程，聯(lián)立直線方程，得，從而可得；方法二：設(shè)直線， 的斜率為， ，則直線的方程為，由得直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程，從而求得，再由在橢圓上，得與的數(shù)量關(guān)系，從而表示出直線的方程，即可求得，進而求得.

試題解析：設(shè)， ．

（1）在中，令，得，從而b3．

由得．

∴．

∵

∴，解得．

∴橢圓的標準方程為．

（2）方法一：

直線的斜率為，由，則直線的斜率為．

于是直線的方程為： ．

同理， 的方程為： ．

聯(lián)立兩直線方程，消去y，得．

∵在橢圓上

∴，從而．

∴．

∴．

方法二：

設(shè)直線， 的斜率為k， ，則直線的方程為．

由直線的方程為．

將代入，得，

∵是橢圓上異于點， 的點

∴，從而 ．

∵在橢圓上

∴，從而．

∴，得．

由，所以直線的方程為．

聯(lián)立則，即．

∴．