【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M: (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y﹣ =0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為 .
(Ⅰ)求M的方程
(Ⅱ)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)把右焦點(diǎn)(c,0)代入直線x+y﹣ =0得c+0﹣ =0,解得c= .
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)P(x0 , y0),
則 , ,相減得 ,
∴ ,
∴ ,又 = ,
∴ ,即a2=2b2 .
聯(lián)立得 ,解得 ,
∴M的方程為 .
(Ⅱ)∵CD⊥AB,∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,
聯(lián)立 ,消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0,
∵直線CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴△=16t2﹣12(2t2﹣6)=72﹣8t2>0,解﹣3<t<3(*).
設(shè)C(x3 , y3),D(x4 , y4),∴ , .
∴|CD|= = = .
聯(lián)立 得到3x2﹣4 x=0,解得x=0或 ,
∴交點(diǎn)為A(0, ),B ,
∴|AB|= = .
∴S四邊形ACBD= = = ,
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí),四邊形ACBD面積的最大值為 ,滿足(*).
∴四邊形ACBD面積的最大值為 .
【解析】(Ⅰ)把右焦點(diǎn)(c,0)代入直線可解得c.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)P(x0 , y0),利用“點(diǎn)差法”即可得到a,b的關(guān)系式,再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a,b,c.(Ⅱ)由CD⊥AB,可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長|CD|.把直線x+y﹣ =0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長|AB|,利用S四邊形ACBD= 即可得到關(guān)于t的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi),且P到棱AD的距離與到面對(duì)角線BC1的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是( 。
A.線段
B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分
D.拋物線的一部分
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且滿足csinA﹣ acosC=0.
(1)求角C的大;
(2)若c=2,求△ABC的面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1 , AC=BC=BB1 , D為AB的中點(diǎn),且CD⊥DA1 .
(1)求證:BC1∥平面DCA1;
(2)求BC1與平面ABB1A1所成角的大。
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【題目】設(shè)F1(﹣c,0)、F2(c,0)是橢圓 =1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若∠PF1F2=5∠PF2F1 , 則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】【2017安徽淮北二!選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中, 以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 圓的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)), 直線和圓交于兩點(diǎn)。
(Ⅰ)求圓心的極坐標(biāo);
(Ⅱ)直線與軸的交點(diǎn)為,求.
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【題目】已知a,b∈R,且ab≠0,則下列結(jié)論恒成立的是( )
A.a+b≥2
B.a2+b2>2ab
C.+ ≥2
D.| + |≥2
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【題目】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(﹣ ,2),則cx2+bx+a<0的解集是( )
A.(﹣3, )
B.(﹣∞,﹣3)∪( ,+∞)
C.(﹣2, )
D.(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞)
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