【題目】對于函數(shù)與常數(shù),若恒成立,則稱為函數(shù)的一個“數(shù)對”;設(shè)函數(shù)的定義域為,且.

（Ⅰ）若是的一個“數(shù)對”,且,求常數(shù)的值;

（Ⅱ）若是的一個“數(shù)對”,求;

（Ⅲ）若是的一個“數(shù)對”,且當(dāng), ,求的值及在區(qū)間上的最大值與最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，代入解方程組即可；

（Ⅱ）由題意知恒成立,令可得,所以是公差為的等差數(shù)列,由等差數(shù)列求通項即可得解；

（Ⅲ）代入，可得，進(jìn)而可得在上的值域，由當(dāng)時, , ,討論奇偶即可得最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知

即

解得

（Ⅱ）由題意知恒成立,

令可得,

所以是公差為的等差數(shù)列,

故,

又,

故.

（Ⅲ）當(dāng)時, ,

令可得,

解得,

所以時, ,

故在上的值域是.

又是的一個“數(shù)對”,

故恒成立,

當(dāng)時, ,

,

故當(dāng)為奇數(shù)時, 在上的取值范圍是,

當(dāng)為偶數(shù)時, 在上的取值范圍是,

所以當(dāng)時, 在上的最大值為,最小值為,

當(dāng)且為奇數(shù)時, 在上的最大值為,最小值為,

當(dāng)為偶數(shù)時, 在上的最大值為,最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】函數(shù)（，）的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點，且M在y軸上，則下列說法中正確的是（ ）

A.函數(shù)的最小正周期是2π

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱

C.函數(shù)在單調(diào)遞增

D.將函數(shù)的圖象向左平移后得到的關(guān)于y軸對稱

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點，圓，點是圓上一動點，線段的中垂線與線段交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且存在點（其中不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點.

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【題目】在三角形內(nèi)，我們將三條邊的中線的交點稱為三角形的重心，且重心到任一頂點的距離是到對邊中點距離的兩倍類比上述結(jié)論：在三棱錐中，我們將頂點與對面重心的連線段稱為三棱錐的“中線”，將三棱錐四條中線的交點稱為它的“重心”，則棱錐重心到頂點的距離是到對面重心距離的______倍

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【題目】請用空間向量求解已知正四棱柱中，，， 分別是棱，上的點，且滿足，．

求異面直線，所成角的余弦值；

求面與面所成的銳二面角的余弦值．

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【題目】根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的有（ ）

A.已知a，b＝2，B＝45°B.已知a＝2，b，A＝45°

C.已知b＝3，c，C＝60°D.已知a＝2，c＝4，A＝45°

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【題目】在平面四邊形中， ， ，將沿折起，使得平面平面，如圖．

（1）求證： ；

（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知拋物線的焦點曲線的一個焦點， 為坐標(biāo)原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于，直線交拋物線于點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求證：直線過定點，并求出此定點的坐標(biāo).

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得的焦點坐標(biāo)分別為，可得，所以，即拋物線的方程為；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），可設(shè)，得，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）由曲線，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得， 所以曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點坐標(biāo)分別為，因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，由題意知，所以，即拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，顯然.故，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得

①當(dāng)，即時，直線的方程為，

②當(dāng)，即時，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點， 也在直線的方程為上，故直線的方程恒過定點.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足， ，記的前項和為，求證： .

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【題目】某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核.

（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

（2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）記X表示抽取的3名工人中男工人人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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