【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：.（注：，是常數(shù)）

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)可得，對(duì)求導(dǎo)后，分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）代入，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證不等式，利用（1）的結(jié)論得到，進(jìn)一步得到，從而可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證，最后根據(jù)不等式的傳遞性可證不等式.

（1）因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

所以，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）證明：由題意，要證，即證.

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，即，

由，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，

于是，即，

所以，

因?yàn)?/span>和不能同時(shí)取到，所以，

故.

令，

則，

因?yàn)?/span>和不能同時(shí)取到，故.

因?yàn)?/span>，所以，

所以原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．

（1）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；

（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．

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【題目】直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，求證：；

（2）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）已知直線：與曲線交于點(diǎn)，，射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交曲線于點(diǎn)，且，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)=時(shí)，若區(qū)間[1，e]上存在x0，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）

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【題目】某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長度(單位：)進(jìn)行檢測(cè)，如下圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為( )

A.20，22.5B.22.5，25C.22.5，22.75D.22.75，22.75

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【題目】如圖，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)的最短路線與棱的交點(diǎn)記為，求：

（1）三棱柱的側(cè)面展開科的對(duì)角線長；

（2）該最短路線的長及的值；

（3）平面與平面所成二面角（銳角）的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及對(duì)應(yīng)的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”， ，設(shè)，證明： .

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