【題目】如圖，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線與棱的交點(diǎn)記為，求：

（1）三棱柱的側(cè)面展開科的對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）該最短路線的長(zhǎng)及的值；

（3）平面與平面所成二面角（銳角）的大小.

【答案】（1）；（2）最短路線的長(zhǎng)為，此時(shí)；（3）

【解析】

（1）易知正三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為6,寬為2的矩形,進(jìn)而求解即可；

（2）畫出展開圖,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置,由展開圖可知為最短路徑,進(jìn)而求解即可；

（3）連接,則是平面與平面的交線,由的性質(zhì)可得,再由平面平面,平面平面,可進(jìn)一步得到,則是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,進(jìn)而求解即可

（1）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為6,寬為2的矩形,其對(duì)角線長(zhǎng)為

（2）如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置,連接交于,則是由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線,

∴,

∵,,,

∴,∴,故,

即最短路線的長(zhǎng)為,此時(shí)

（3）如圖,連接,則是平面與平面的交線,

在中,,

∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,∴,∴是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,

∵側(cè)面是正方形,∴,

故平面與平面所成的二面角（銳角）為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）①若，試討論的單調(diào)性；

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（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

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【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，.且與均為正三角形，為的中點(diǎn)，為重心.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面.已知，，，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

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【題目】給出下列四個(gè)命題:

①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件；②“當(dāng)為某一實(shí)數(shù)時(shí)，可使”是不可能事件；③“明天蘭州要下雨”是必然事件；④“從100個(gè)燈泡中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件.

其中正確命題的序號(hào)是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)命題：

①線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；反之，線性相關(guān)性越強(qiáng)；

②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，平均值不變

③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變

④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加4個(gè)單位.

其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是（ ）

A.①B.②C.③D.④

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