【題目】如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形,,,.且與均為正三角形,為的中點(diǎn),為重心.
(1)求證:平面;
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)方法一:連接并延長(zhǎng)與交于,連接,推導(dǎo)出,從而,由為重心,得,進(jìn)而,由此能證明平面.
方法二:過(guò)作交于,過(guò)作交于,連接,易知,又為的重心, 根據(jù)比例關(guān)系可得 ,
又為梯形, ,由比例關(guān)系可得,又, 得, 為平行四邊形,可得,根據(jù)線面平行判定定理即可證明結(jié)果;
方法三:過(guò)作交于,連接,由為正三角形,為的中點(diǎn),且, 為的重心,
又由梯形,可得,可證 ,可得平面平面
根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明結(jié)果.
(2)方法一:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn),可得平面,且,由(1)知平面,可得 ,再根據(jù)題意解出,即可求出結(jié)果.
方法二:三棱錐的體積 .由此能求出結(jié)果.
(1)方法一:連交于,連接.
由梯形, 且,知
又為的中點(diǎn),且,為的重心,∴
在中,,故.
又平面,平面,∴平面
方法二:過(guò)作交于,過(guò)作交于,連接,
為的中點(diǎn),且,
為的重心, , ,
又為梯形, ,,
, ,
又由所作, 得, 為平行四邊形.
,面,面,面
方法三:過(guò)作交于,連接,
由為正三角形,為的中點(diǎn),且, 為的重心,
得,
又由梯形,,且,
知,即
∴在中, ,所以平面平面
又平面,∴面
(2)方法一:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)
∴,,得平面,且
由(1)知平面,∴
又由梯形, ,且,知
又為正三角形,得,
∴
得
∴三棱錐的體積為.
方法二:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)
∴,,得平面,且
由,∴
而又為正三角形,得,得.
∴,∴三棱錐的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋子中有四張卡片,分別寫(xiě)有“瓷、都、文、明”四個(gè)字,有放回地從中任取一張卡片,將三次抽取后“瓷”“都”兩個(gè)字都取到記為事件,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個(gè)隨機(jī)數(shù),分別代表“瓷、都、文、明”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取卡片三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估計(jì)事件發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)=時(shí),若區(qū)間[1,e]上存在x0,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)滿足,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,,,由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線與棱的交點(diǎn)記為,求:
(1)三棱柱的側(cè)面展開(kāi)科的對(duì)角線長(zhǎng);
(2)該最短路線的長(zhǎng)及的值;
(3)平面與平面所成二面角(銳角)的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于128,
(1)求的值;
(2)求的展開(kāi)式中的有理項(xiàng);
(3)求的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的偶函數(shù),對(duì)任意,都有,且當(dāng)時(shí),.在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一張半徑為1米的圓形鐵皮,工人師傅需要剪一塊頂角為銳角的等腰三角形,不妨設(shè) , 邊上的高為 ,圓心為 ,為了使三角形的面積最大,我們?cè)O(shè)計(jì)了兩種方案.
(1)方案1:設(shè) 為 ,用表示 的面積 ; 方案2:設(shè)的高為,用表示 的面積;
(2)請(qǐng)從(1)中的兩種方案中選擇一種,求出面積的最大值
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【題目】某海輪以每小時(shí)30海里的速度航行,在點(diǎn)測(cè)得海面上油井在南偏東,海輪向北航行40分鐘后到達(dá)點(diǎn),測(cè)得油井在南偏東,海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達(dá)點(diǎn),則兩點(diǎn)的距離為(單位:海里)
A. B. C. D.
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