Question

【題目】2020年是我國全面建成小康社會和“十三五”規(guī)劃收官之年,也是佛山在經(jīng)濟(jì)總量超萬億元新起點上開啟發(fā)展新征程的重要?dú)v史節(jié)點.作為制造業(yè)城市,佛山一直堅持把創(chuàng)新擺在制造業(yè)發(fā)展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成為面向全球的國家制造業(yè)創(chuàng)新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市場”的創(chuàng)新發(fā)展之路.在推動制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展的大環(huán)境下,佛山市某工廠統(tǒng)籌各類資源,進(jìn)行了積極的改革探索.下表是該工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（）（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（萬元）的四組對照數(shù)據(jù).

x	5	7	9	11
y	200	298	431	609

工廠研究人員建立了y與x的兩種回歸模型,利用計算機(jī)算得近似結(jié)果如下：

模型①：

模型②：.

其中模型①的殘差（實際值－預(yù)報值）圖如圖所示：

（1）根據(jù)殘差分析,判斷哪一個模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程？并說明理由；

（2）市場前景風(fēng)云變幻,研究人員統(tǒng)計歷年的銷售數(shù)據(jù)得到每件產(chǎn)品的銷售價格q（萬元）是一個與產(chǎn)量x相關(guān)的隨機(jī)變量,分布列為：

q
P	0.5	0.4	0.1

結(jié)合你對（1）的判斷,當(dāng)產(chǎn)量x為何值時,月利潤的預(yù)報期望值最大？最大值是多少（精確到0.1）？

Answer 1

【答案】（1）模型①更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程,見解析（2）產(chǎn)量為11件時,月利潤的預(yù)報期望值最大,最大值是774.8萬元.

【解析】

(1)作出模型②的殘點圖,再對比①的殘點圖分析即可.

(2)根據(jù)題意作出Y的分布列,進(jìn)而得出其數(shù)學(xué)期望,再求導(dǎo)分析其單調(diào)性求出最大值即可.

（1）模型②的殘差數(shù)據(jù)如下表：

x	5	7	9	11
y	200	298	431	609
	20			21

模型②的殘點圖如圖所示.

模型①更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程,因為：

理由1：模型①這個4個樣本點的殘差的絕對值都比模型②的小.

理由2：模型①這4個樣本的殘差點落在的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域更窄.

理由3：模型①這4個樣本的殘差點比模型②的殘差點更貼近x軸.

（2）設(shè)月利潤為Y,由題意知,則Y的分布列為：

Y
P	0.5	0.4	0.1

.

設(shè)函數(shù),,,

令,解得或（舍）,

當(dāng)時,,則單調(diào)遞增；當(dāng)時,,則單調(diào)遞減.

則函數(shù)的最大值,即產(chǎn)量為11件時,月利潤的預(yù)報期望值最大,最大值是774.8萬元.