Question

在△ABC中，頂點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)D，E滿(mǎn)足：①；②，③共線(xiàn).
（Ⅰ）求△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，只要該圓的切線(xiàn)與頂點(diǎn)C的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(I)設(shè)C（x,y）,由得，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
由得，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，再結(jié)合與共線(xiàn)，
得，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為;                 …………2分
由的，，
整理得，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195739256544.png" style="vertical-align:middle;" />的三個(gè)頂點(diǎn)不共線(xiàn)，所以，
故頂點(diǎn)C的軌跡方程為.…………5分
(II)假設(shè)存在這樣的圓，其方程為，
當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓的方程，
得，
設(shè)M，N，
則，
所以 (*)…………7分
由，得0，
即，
將式子(*)代入上式，得.…………9分
又直線(xiàn)MN：與圓相切知：.
所以，即存在圓滿(mǎn)足題意；
當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，可得，滿(mǎn)足.
綜上所述：存在圓滿(mǎn)足題意.

略