Question

（本小題滿分13分）已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|＝3時(shí)，求直線l的方程；
②設(shè)點(diǎn)E(m,0)是x軸上一點(diǎn)，求當(dāng)·恒為定值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值．

Answer 1

解：　(1)設(shè)D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),
∵ D是AB的中點(diǎn)， ∴x＝，y＝，
∵ |AB|＝2，∴(a－b)²＋(a＋b)²＝12，
∴(2y)²＋(2x)²＝12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x²＋y²＝3.
(2) ①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P(1，)，Q(1，－)，
此時(shí)|PQ|＝2，不符合題意；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，
由于|PQ|＝3，所以圓心C到直線l的距離為，
由＝，解得k＝.故直線l的方程為y＝(x－1).
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1)，
由消去y得(k²＋1)x²－2k²x＋k²－3＝0，
設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)則由韋達(dá)定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
則＝(m－x₁，－y₁)，＝(m－x₂，－y₂)，
∴·＝(m－x₁)(m－x₂)＋y₁y₂＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋y₁y₂
＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋k²(x₁－1)(x₂－1)
＝m²－＋＋k² (－＋1)＝
要使上式為定值須＝1，解得m＝1，
∴·為定值－2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P(1，)，Q(1，－)，
由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)，
∴·＝－2，           
綜上所述當(dāng)E(1，0)時(shí)，·為定值－2.

略