【題目】已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,且公差和公比都是2,若對(duì)滿(mǎn)足m+n≤5的任意正整數(shù)m,n,均有am+an=am+n成立. (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)若bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】解:(I)∵對(duì)滿(mǎn)足m+n≤5的任意正整數(shù)m,n,均有am+an=am+n成立. ∴m=n=1時(shí),2a1=a2=a1+2.
m=1,n=2時(shí),可得a1+a2=a3=a1+2,解得a2=2,a1=1.
∴n為奇數(shù)時(shí),an=1+ =n,n為偶數(shù)時(shí),an=2× = .
∴an= .
(II)bn= ,∴n為奇數(shù)時(shí),bn= = .
n為偶數(shù)時(shí),bn= .
因此:n為偶數(shù)時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= + = + = ﹣ ﹣ .
∴n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn﹣1+bn= ﹣ + = ﹣ ﹣ .
【解析】(1)對(duì)滿(mǎn)足m+n≤5的任意正整數(shù)m,n,均有am+an=am+n成立.可得:m=n=1時(shí),2a1=a2=a1+2.m=1,n=2時(shí),可得a1+a2=a3=a1+2,解得a2=2,a1=1.分奇偶項(xiàng)即可得出.(2)bn= ,可得n為奇數(shù)時(shí),bn= = .n為偶數(shù)時(shí),bn= .因此:n為偶數(shù)時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= + . n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn﹣1+bn , 即可得出.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-的所有零點(diǎn)之和為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】日前,揚(yáng)州下達(dá)了2018年城市建設(shè)和環(huán)境提升重點(diǎn)工程項(xiàng)目計(jì)劃,其中將對(duì)一塊以O為圓心,R(R為常數(shù),單位:米)為半徑的半圓形荒地進(jìn)行治理改造,如圖所示,△OBD區(qū)域用于兒童樂(lè)園出租,弓形BCD區(qū)域(陰影部分)種植草坪,其余區(qū)域用于種植觀賞植物.已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元,兒童樂(lè)園出租的利潤(rùn)是每平方米95元.
(1)設(shè)∠BOD=θ(單位:弧度),用θ表示弓形BCD的面積S弓=f(θ);
(2)如果市規(guī)劃局邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)∠BOD的大小才能使總利潤(rùn)最大?并求出該最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),有下列四個(gè)命題:
①若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
②若對(duì),有,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);
③若對(duì),有,則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
④函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
其中正確命題的序號(hào)為__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別為, ,左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為, 的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn), , 是線段的中點(diǎn).若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與直線垂直于點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線:和圓:.
(1)求證:直線恒過(guò)一定點(diǎn);
(2)試求當(dāng)為何值時(shí),直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短;
(3)在(2)的前提下,直線是過(guò)點(diǎn),且與直線平行的直線,求圓心在直線上,且與圓相外切的動(dòng)圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市對(duì)高二學(xué)生的期末理科數(shù)學(xué)測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布,現(xiàn)從甲校100分以上(含100分)的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣中等距抽樣的方法抽取了20份試卷來(lái)分析(試卷編號(hào)為001,002,…,200),統(tǒng)計(jì)如下:
注:表中試卷編號(hào)
(1)寫(xiě)出表中試卷得分為144分的試卷編號(hào)(寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)即可);
(2)該市又從乙校中也用與甲校同樣的抽樣方法抽取了20份試卷,將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖(如圖)在甲、乙兩校這40份學(xué)生的試卷中,從成績(jī)?cè)?/span>140分以上(含140分)的學(xué)生中任意抽取3人,該3人在全市排名前15名的人數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則
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