【題目】已知函數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最大值;
(2)若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切,求的取值范圍;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求,令,求出極值點(diǎn),極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,即求最大值;
(2)設(shè)出切點(diǎn),寫出切線方程,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程,得.設(shè),則“過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同的零點(diǎn)”.求,判斷的單調(diào)性,即可求解.
(1)由得.
令,得或.
因?yàn)?/span>,
所以在區(qū)間上的最大值為.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn),
則,且切線斜率為,
所以切線方程為,
因此,
整理得.
設(shè),
則“過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同的零點(diǎn)”.
.
當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下:
0 | 1 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以,是的極大值,
是的極小值.
當(dāng),即時(shí),
在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),
以至多有2個(gè)零點(diǎn).
當(dāng),即時(shí),
在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),
所以至多有2個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)且,即時(shí),
因?yàn)?/span>,
所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).
由于在區(qū)間和上單調(diào),
所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).
綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí),的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為曲線.
(Ⅰ)寫出直線的參數(shù)方程及曲線的普通方程;
(Ⅱ)求直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和與積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),點(diǎn)是的重心.
(1)證明:平面;
(2)若平面平面,,,,,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有六名同學(xué)參加演講比賽,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,比賽結(jié)果設(shè)特等獎(jiǎng)一名,,,,四名同學(xué)對(duì)于誰(shuí)獲得特等獎(jiǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè).說(shuō):不是1號(hào)就是2號(hào)獲得特等獎(jiǎng);說(shuō):3號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng);說(shuō):4,5,6號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng);說(shuō):能獲得特等獎(jiǎng)的是4,5,6號(hào)中的一個(gè).公布的比賽結(jié)果表明,,,,中只有一個(gè)判斷正確.根據(jù)以上信息,獲得特等獎(jiǎng)的是( )號(hào)同學(xué).
A.1B.2C.3D.4,5,6號(hào)中的一個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,離心率為,,分別是橢圓的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與的斜率之積為,直線分別交橢圓于兩點(diǎn),記,的面積分別為,.
①若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,求直線的斜率;
②證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷作答,并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問(wèn)卷的結(jié)果”有關(guān)?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷的結(jié)果”有關(guān)?
(2)在成績(jī)合格的學(xué)生中,利用性別進(jìn)行分層抽樣,共選取9人進(jìn)行座談,再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取5人發(fā)送獎(jiǎng)品,記拿到獎(jiǎng)品的男生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點(diǎn)在C上.
(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線,使得,與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N,證明:弦長(zhǎng)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方體,點(diǎn), , 分別是線段, 和上的動(dòng)點(diǎn),觀察直線與, 與.給出下列結(jié)論:
①對(duì)于任意給定的點(diǎn),存在點(diǎn),使得;
②對(duì)于任意給定的點(diǎn),存在點(diǎn),使得;
③對(duì)于任意給定的點(diǎn),存在點(diǎn),使得;
④對(duì)于任意給定的點(diǎn),存在點(diǎn),使得.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).
A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)口袋內(nèi)有個(gè)不同的紅球,個(gè)不同的白球,
(1)從中任取個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個(gè)紅球記分,取一個(gè)白球記分,從中任取個(gè)球,使總分不少于分的取法有多少種?
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