【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;

(2)點P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.

【答案】(1),;(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意列出再結合即可解出，，從而得到橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；

(2) 根據(jù)分類討論，當有一條直線斜率不存在時(不妨假設無斜率)，可知其方程為或，這樣可求出；當兩條直線的斜率都存在時，設經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，與橢圓方程聯(lián)立，由可得，所以線段應為“衛(wèi)星圓”的直徑，即，故得證．

(1)由條件可得:

解得，

所以橢圓的方程為，

衛(wèi)星圓的方程為

(2)①當，中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與“衛(wèi)星圓”交于點和，

此時經(jīng)過點且與橢圓只有一個公共點的直線是

或，即為或，

∴

∴線段應為“衛(wèi)星圓”的直徑，

∴

②當，都有斜率時，設點，其中，

設經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則，

消去y得到，

∴

∴

所以，滿足條件的兩直線，垂直．

∴線段應為“衛(wèi)星圓”的直徑，∴

綜合①②知：因為，經(jīng)過點，又分別交“衛(wèi)星圓”于點，且，垂直，所以線段是“衛(wèi)星圓”的直徑，∴為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為，左、右焦點分別為、，上頂點為，右頂點為，且、、成等比數(shù)列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線是由兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的，對于曲線，有下列四個結論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線上所有的點都在單位圓內(nèi)；③曲線是中心對稱圖形；④曲線上所有點的縱坐標.其中，所有正確結論的序號是______.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在區(qū)間上的最大值；

（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點分別為的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′（x），g'（x）為其導函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，則使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（﹣∞,﹣3）B.（﹣3,0）C.（0,3）D.（3,+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓交于M點,且滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是 ( )

A. B. -1 C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.

（1）證明：//平面BCE.

（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案