【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）是否存在不相等的正實(shí)數(shù)m，n滿足，且？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，

【解析】

（1）題目等價(jià)，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，計(jì)算最值得到答案.

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有不等于1的正實(shí)根，，討論和，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到在上存在零點(diǎn)，得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，即，也即.

令，則.

由得，或（舍去）.

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).

所以，所以原不等式成立.

（2）由及得，即.

由于m，n為不相等的正實(shí)數(shù).

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有不等于1的正實(shí)根.

令，

當(dāng)時(shí)，若，則，

若，則，

所以當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有不等于1的正實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以的最小值為，又.

當(dāng)，即時(shí)，是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，不符合；

當(dāng)，即時(shí)，，.

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，由此，顯然.

所以在上存在零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，，

類(lèi)似地，，，所以在上存在零點(diǎn).

綜上所述，的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知當(dāng)，函數(shù)，且，若的圖像與的圖像在第二象限有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.

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【題目】設(shè)，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)，分別作直線，，且，若與橢圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，在軸上方），則四邊形面積的最大值為__________．

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（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫(xiě)出它每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）若l過(guò)點(diǎn)F，點(diǎn)M，N到直線y＝2的距離分別為d1，d2，且，求l的方程；

（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），直線m過(guò)點(diǎn)M交C于另一點(diǎn)N′，當(dāng)直線l與m的斜率之和為2時(shí)，證明：直線NN′過(guò)定點(diǎn).

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【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交y軸于E點(diǎn)．若，．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）試判斷是否是定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，右焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值與最大值的積為1，圓與軸交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與圓相切，求的面積與的面積乘積的取值范圍.

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（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的的正弦值．

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