【題目】已知函數(shù)，，．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設(shè)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析； (Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)求解出點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，從而得切線方程；(Ⅱ)求導(dǎo)后，分別在、和三個(gè)范圍中討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到原函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅲ)將問題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在上的值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)分別求解出兩個(gè)函數(shù)的值域，從而構(gòu)造不等式，解出取值范圍.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，所以

所以

所以曲線在處的切線方程為，即

(Ⅱ)的定義域是，

令，得

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

②當(dāng)時(shí)，變化如下：

+

-

-

+

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

③當(dāng)時(shí)，變化如下：

+

-

-

+

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

(Ⅲ)因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時(shí)，

所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增

所以在上的最小值是，最大值是

即當(dāng)時(shí)，的取值范圍為

由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>，所以不合題意

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減

所以在上的最大值為，最小值為

所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為

“對(duì)于任意，總存在，使得成立”等價(jià)于

即，解得

所以的取值范圍為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）

1

2

3

4

5

單店日平均營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）

10.9

10.2

9

7.8

7.1

（1）求單店日平均營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）的線性回歸方程；

（2）根據(jù)試點(diǎn)調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個(gè)地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)值總和不低于35萬(wàn)元，求一個(gè)地區(qū)開設(shè)加盟店個(gè)數(shù)的所有可能取值；

（3）小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個(gè)地區(qū)（加盟店都不少于2個(gè)）中隨機(jī)選一個(gè)地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.

（參考數(shù)據(jù)及公式：，，線性回歸方程，其中，.）

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