Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，

當a＞0，a≠1時，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函數(shù)，

又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集為（0，+∞），f'（x）＜0的解集為（﹣∞，0），

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0）

（2）解：因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，

而當x∈[﹣1，1]時|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，

所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1

又因為x，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以f（x）在[﹣1，0]上是減函數(shù)，在[0，1]上是增函數(shù)，

所以當x∈[﹣1，1]時，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，

f（x）的最大值f（x）max為f（﹣1）和f（1）中的最大值．

因為f（1）﹣f（﹣1）=a﹣ ﹣2lna，

令g（a）=a﹣ ﹣2lna（a＞0），

因為g′（a）= ＞0，

所以g（a）=a﹣ ﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函數(shù)．

而g（1）=0，故當a＞1時，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；

當0＜a＜1時，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）

所以，當a＞1時，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，

而函數(shù)y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函數(shù)，解得a≥e；

當0＜a＜1時，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即 +lna≥e﹣1，函數(shù)y= +lna在a∈（0，1）上是減函數(shù)，

解得0＜a≤ ．

綜上可知，所求a的取值范圍為（0， ]∪[e，+∞）．

【解析】（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．