【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是AA1的中點,求證: (Ⅰ)A1C∥平面BDE;
(Ⅱ)平面A1AC⊥平面BDE.
【答案】證明:(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接EO, ∵E為AA1的中點,O為AC的中點
∴EO為△A1AC的中位線
∴EO∥A1C
又∵EO平面BDE,A1C平面BDE
∴A1C∥平面BDE;
(Ⅱ)∵AA1⊥平面ABCD,BD平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,
∵AA1∩AC=A,AA1、AC平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE.
【解析】(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接EO,△A1AC中利用中位線,得EO∥A1C.再結(jié)合線面平行的判定定理,可得A1C∥平面BDE;(II)根據(jù)正方體的側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合線面垂直的定義,得到AA1⊥BD.再結(jié)合正方形的對角線互相垂直,得到AC⊥BD,從而得到BD⊥平面A1AC,最后利用面面垂直的判定定理,可以證出平面A1AC⊥平面BDE.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
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【題目】已知直線l1:2x﹣y+1=0,直線l2與l1關(guān)于直線y=﹣x對稱,則直線l2的方程為( )
A.x﹣2y+1=0
B.x+2y+1=0
C.x﹣2y﹣1=0
D.x+2y﹣1=0
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的極值;
(2)當時,討論函數(shù)的定義域內(nèi)的零點個數(shù).
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【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為AD,A1B1的中點.
(1)求證:DB1⊥CD1;
(2)求三棱錐B﹣EFC的體積.
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【題目】定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足:①f(0)=0;②f(x)+f(1﹣x)=1;③f( )= f(x);④當0≤x1<x2≤1時,f(x1)≤f(x2).則f( )= .
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【題目】△ABC中,A(0,1),AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y﹣4=0,AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x+y﹣3=0.
(1)求直線AB的方程,并把它化為一般式;
(2)求直線BC的方程,并把它化為一般式.
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【題目】如圖,已知⊙O中,直徑AB垂直于弦CD,垂足為M,P是CD延長線上一點,PE切⊙O于點E,連接BE交CD于點F,證明:
(1)∠BFM=∠PEF;
(2)PF2=PD·PC.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
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