Question

【題目】如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為4，PD=4，E為PA的中點(diǎn)，

（1）求證：平面EBD⊥平面PAC；
（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，連結(jié)PO．則O為正方形ABCD的中心，

∴PO⊥平面ABCD．∵BD平面ABCD，

∴PO⊥BD．

∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．

又AC平面PAC，PO平面PAC，AC∩PO=O，

∴BD⊥平面PAC，又BD平面EBD，

∴平面EBD⊥平面PAC．

（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵正四棱錐的棱長(zhǎng)為4，∴OA=OB=OD=2 ，OP= =2 ．

∴A（2 ，0，0），B（0，2 ，0），P（0，0，2 ），∴E（ ，0， ）．

∴ =（ ，﹣2 ， ）．

顯然x軸⊥平面PBD．∴ =（1，0，0）是平面PBD的一個(gè)法向量，

∴ = ，| |=1，| |=2 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥AC，故而B(niǎo)D⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 =（1，0，0）為平面PBD的一個(gè)法向量，求出cos＜ ， ＞，則|cos＜ ， ＞|即為所求．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．