【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,記,;
(1)求實數(shù)、的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的范圍;
(3)對于定義在上的函數(shù),設(shè),,用任意將劃分成個小區(qū)間,其中,若存在一個常數(shù),使得不等式恒成立,則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù),試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù),并求出的最小值;
【答案】(1),;(2);(3)證明見解析,;
【解析】
(1)由已知在區(qū)間上的最大值為4,最小值為1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值,易構(gòu)造關(guān)于的方程組,解得的值。
(2)求出,對任意恒成立等價于恒成立,求實數(shù)的范圍。
(3)根據(jù)有界變差函數(shù)的定義,我們先將區(qū)間進行劃分,進而判斷是否恒成立,進而得到結(jié)論。
(1)因為,因為,對稱軸
所以在區(qū)間上是增函數(shù),
又函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為
所以
解得:
所以
故實數(shù)
(2)由(1)可知
因為,所以
因為對任意恒成立,
令
根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得:
則
令,則
解得:
即
所以
(3)函數(shù)為上的有界變差函數(shù),又為上的單增函數(shù),
且對任意劃分
有
所以
所以存在常數(shù)M使得恒成立,即
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)點分別為曲線與曲線上的任意一點,求的最大值;
(2)設(shè)直線(為參數(shù))與曲線交于兩點,且,求直線的普通方程.
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【題目】高鐵是一種快捷的交通工具,為我們的出行提供了極大的方便。某高鐵換乘站設(shè)有編號為①,②,③,④,⑤的五個安全出口,若同時開放其中的兩個安全出口,疏散名乘客所需的時間如下:
安全出口編號 | ①② | ②③ | ③④ | ④⑤ | ①⑤ |
疏散乘客時間(s) | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是( )
A. ①B. ②C. ④D. ⑤
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【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
⑴當(dāng)時,求曲線在點,處的切線方程;
⑵討論的單調(diào)性;
⑶當(dāng)時,證明.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xsinx的圖象是下列兩個圖象中的一個,如圖,請你選擇后再根據(jù)圖象作出下面的判斷:若x1,x2∈(),且f(x1)<f(x2),則( )
A.x1>x2B.x1+x2>0C.x1<x2D.x12<x22
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【題目】如圖,已知是圓的直徑,,在圓上且分別在的兩側(cè),其中,.現(xiàn)將其沿折起使得二面角為直二面角,則下列說法不正確的是( )
A.,,,在同一個球面上
B.當(dāng)時,三棱錐的體積為
C.與是異面直線且不垂直
D.存在一個位置,使得平面平面
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【題目】如圖,“大衍數(shù)列”:0,2,4,8,12….來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前項和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,輸入,則輸出的( )
A.100B.140C.190D.250
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【題目】已知函數(shù) .
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍(為自然常數(shù));
(3)求證:.
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