Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）

【解析】

（1）由，得出，利用，解得；

（2），，令，解得：或0， 對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由于在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，通過對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）解：由于，，

，

因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，

所以，

解得：.

（2）解：依題意知，，

令，解得：或0，

當(dāng)時(shí)，令，得或，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（3）解：由于在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

依題意，當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

則，

設(shè)，

則，

①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，從而，

所以在區(qū)間為上單調(diào)遞增，

又∵，

當(dāng)時(shí)，，從而時(shí)，，

所以在區(qū)間為上單調(diào)遞減，

又∵，

從而當(dāng)時(shí)，，

即，

于是當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又∵，

當(dāng)時(shí)，，

從而當(dāng)時(shí)，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又∵，

從而當(dāng)時(shí)，，

即，不合題意，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.