Question

【題目】如圖，三棱維中，平面平面，，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上點(diǎn)是的重心．

（1）若是的中點(diǎn)，證明面；

（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí).

【解析】

（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明平面平面，得到證明.

（2）證明平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，故為的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，

又因?yàn)?/span>，所以平面平面，又平面，

所以平面．

（2）連接，因?yàn)?/span>，所以，又是的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，而平面平面，平面，

所以平面，

如圖，以為原點(diǎn)，垂直于的直線為軸，，所在直線分別為軸，軸建空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，

所以，，，，，

假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，

則，

所以，又，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，解得，

又平面，平面的法向量，

而二面角的大小為，所以，

即，解得，

所以存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時(shí)．