Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，⊥平面且.

(1)求證：平面⊥平面；

(2)若設(shè)與平面所成夾角為，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】

分析：（1）根據(jù)已知可得和，由線面垂直判定定理可證平面，再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.

（2）解法一：向量法，設(shè)，以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求的值.

解法二：三垂線法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，過(guò)點(diǎn)F做FM⊥EC于M，連OM，由已知可以證明FO⊥面AEC，∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角，通過(guò)菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO，得到答案.

解法三：射影面積法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，根據(jù)已知條件計(jì)算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.

詳解：（1）證明：連結(jié)

四邊形是菱形，，

⊥平面，平面，

，

，平面，

平面，

平面，平面⊥平面.

（2）解：解法一：設(shè) ，

四邊形是菱形，，

、為等邊三角形， ，

是的中點(diǎn)， ，

⊥平面，，

在中有，，，

以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

由 得 設(shè)，解得.

設(shè)平面的法向量為，

由 得 設(shè)，解得.

設(shè)二面角的為，則

結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.

解法二：

∵EB⊥面ABCD，

∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角

在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=

∴EB=DF=1

連接AC交BD于O，連接EO、FO

菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO

又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,

AC∩EO=O，AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC

又EC面AEC,∴FO⊥EC

過(guò)點(diǎn)F做FM⊥EC于M，連OM，

又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO面FMO,∴EC⊥面FMO

OM面FMO,∴EC⊥MO

∴∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角

AC⊥面BEFD, EO面BEFD，∴AC⊥EO

又O為AC的中點(diǎn)，∴EC=AE=

Rt△OEC中，OC=, EC=,∴OE=,∴OM =

Rt△OFM中，OF=, OM =,∴FM =

∴cos∠FMO=

即二面角A-EC-F的余弦值為

解法三：

連接AC交BD于O，連接EO、FO

菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO

又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,

AC∩EO=O，AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC

又∵EB⊥面ABCD，

∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角

在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=

∴EB=DF=1

在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=

在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴

在△AEC中, AE=EC=,O為AC中點(diǎn)，∴OE⊥OC

在Rt△OEC,OE=, OC=,∴

設(shè)△EFC、△OEC在EC邊上的高分別為h、m,

二面角A-EC-F的平面角設(shè)為θ，

則cosθ=

即二面角A-EC-F的余弦值為.