Question

【題目】已知橢圓E的一個頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是3．

求橢圓E的方程；

設(shè)過點(diǎn)A的直線l與該橢圓交于另一點(diǎn)B，當(dāng)弦AB的長度最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離列式求得c，再求得a；

（2）根據(jù)弦長公式求得弦長后，換元成二次函數(shù)求最值．

（1）由題意，

右焦點(diǎn)到直線的距離,，

,

∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的方程為

（2）〖解法1〗當(dāng)不存在時，

當(dāng)存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，

令則

所以，當(dāng)，即，得時

的最大值為，即的最大值為

直線的方程為.

（2）〖解法2〗設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，且;

將參數(shù)方程代入橢圓方程可得：，

化簡可得：，

若，則上面的方程為，則,矛盾

若，則，，

則弦長為

上式，

當(dāng)且僅當(dāng)即或，時等號成立.

直線方程為：或