【題目】已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設是曲線上的動點,直線的方程為.
①設直線與圓交于不同兩點, ,求的取值范圍;
②求與動直線恒相切的定橢圓的方程;并探究:若是曲線: 上的動點,是否存在直線: 恒相切的定曲線?若存在,直接寫出曲線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】分析:(1)設設,根據動點到點的距離與到直線的距離之比為,建立方程,即可求得曲線的方程;(2)①先求出圓心到直線的距離,結合勾股定理可表示出,再根據及,即可求得的取值范圍,從而可得的取值范圍;②取, ,直線的方程為,取, 時,直線的方程為,根據橢圓對稱性,猜想的方程為與直線相切,由此聯(lián)立方程組,轉化為恒成立,即可推出存在,若是曲線: 上的動點,結合以上結論可得與直線相切的定曲線的方程為.
詳解:(1)設,由題意,得.
整理,得,所以曲線的方程為.
(2)①圓心到直線的距離
∵直線于圓有兩個不同交點,
∴
又∵
∴
由,得.
又∵
∴
∴
因此, ,即的取值范圍為.
②當, 時,直線的方程為;當, 時,直線的方程為,根據橢圓對稱性,猜想的方程為.
下證:直線與相切,其中,即.
由消去得: ,即.
∴恒成立,從而直線與橢圓: 恒相切.
若點是曲線: 上的動點,則直線: 與定曲線: 恒相切.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),。
Ⅰ.求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間;
Ⅱ.當時,方程恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的圖象關于原點中心對稱,求的最小值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】世界那么大,我想去看看,處在具有時尚文化代表的大學生們旅游動機強烈,旅游可支配收入日益增多,可見大學生旅游是一個巨大的市場.為了解大學生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關部門隨機抽取了某大學的名學生進行問卷調查,并把所得數(shù)據列成如下所示的頻數(shù)分布表:
組別 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(Ⅱ)根據樣本數(shù)據,可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該所大學共有學生人,試估計有多少位同學旅游費用支出在元以上;
(Ⅲ)已知樣本數(shù)據中旅游費用支出在范圍內的名學生中有名女生, 名男生,現(xiàn)想選其中名學生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.
附:若,則,
, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為圓上一動點,圓心關于軸的對稱點為,點分別是線段上的點,且.
(1)求點的軌跡方程;
(2)直線與點的軌跡只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于兩點,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的左焦點為,左準線方程為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知直線交橢圓于, 兩點.
①若直線經過橢圓的左焦點,交軸于點,且滿足, .求證: 為定值;
②若(為原點),求面積的取值范圍.
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