【題目】已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列的前項和為,且滿足(其中為常數(shù)), .數(shù)列滿足.

(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項公式;

(2)若無窮等比數(shù)列滿足:對任意的,數(shù)列中總存在兩個不同的項 使得,求的公比.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1)仿寫式子,兩式相減得到,利用等差數(shù)列的定義和通項公式進(jìn)行求解;(2)構(gòu)造數(shù)列,利用遞減數(shù)列得到取值范圍,利用數(shù)列是特殊的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,利用確定公比的取值.

試題解析:(1)方法一:因為①,

所以②,

由②-①得, ,

,又,

,即.

中令得, ,即.

綜上,對任意,都有

故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.

,則.

方法二:因為,所以,又,

則數(shù)列是以為首項, 為公差的等差數(shù)列,

因此,即.

當(dāng)時, ,又也符合上式,

.

故對任意,都有,即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.

(2)令,則數(shù)列是遞減數(shù)列,所以.

考察函數(shù),因為,所以上遞增,因此,從而 .

因為對任意,總存在數(shù)列中的兩個不同項 ,使得,所以對任意的都有,明顯.

,當(dāng)時,

,不符合題意,舍去;

,當(dāng)時,

,不符合題意,舍去;

.

練習(xí)冊系列答案
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