【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn);設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn)且,求證:.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)(i)證明見(jiàn)解析;(ii)證明見(jiàn)解析.
【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可確定極值,
轉(zhuǎn)化為證明只有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證;
由題意可得,,代入可得,,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可證.
解:解:由已知,的定義域?yàn)?/span>,
,
①當(dāng)時(shí),,從而,
所以在內(nèi)單調(diào)遞減,無(wú)極值點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),令,
則由于在上單調(diào)遞減,,,
所以存在唯一的,使得,
所以當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即,
所以當(dāng)時(shí),在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn);
證明:由知.
令,由得,
所以在內(nèi)有唯一解,從而在內(nèi)有唯一解,
不妨設(shè)為,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以是的唯一極值點(diǎn).
令,則當(dāng)時(shí),,
故在內(nèi)單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時(shí),,所以.
從而當(dāng)時(shí),,且
又因?yàn)?/span>,故在內(nèi)有唯一的零點(diǎn).
由題意,即,
從而,即.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,
故,即,
兩邊取對(duì)數(shù),得,
于是,整理得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓,為橢圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn)Q.
(i)若為橢圓上任意一點(diǎn),求的值;
(ii)若點(diǎn)坐標(biāo)為,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐D-ABC中,,且,,M,N分別是棱BC,CD的中點(diǎn),下面結(jié)論正確的是( )
A.B.平面ABD
C.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)·均輸》中有如下問(wèn)題:“今有五人分十錢(qián),令上二人所得與下三人等,問(wèn)各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢(qián),甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問(wèn)五人各得多少錢(qián)?”(“錢(qián)”是古代的一種重量單位).這個(gè)問(wèn)題中,甲所得為( )
A.錢(qián)B.錢(qián)C.錢(qián)D.錢(qián)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的各棱中,最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為( )
A. B. C. 2 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率為______;若過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點(diǎn),且,則___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】截至2019年,由新華社《瞭望東方周刊》與瞭望智庫(kù)共同主辦的"中國(guó)最具幸福感城市"調(diào)查推選活動(dòng)已連續(xù)成功舉辦12年,累計(jì)推選出60余座幸福城市,全國(guó)約9億多人次參與調(diào)查,使"城市幸福感"概念深入人心.為了便于對(duì)某城市的"城市幸福感"指數(shù)進(jìn)行研究,現(xiàn)從該市抽取若干人進(jìn)行調(diào)查,繪制成如下不完整的2×2列聯(lián)表(數(shù)據(jù)單位:人).
男 | 女 | 總計(jì) | |
非常幸福 | 11 | 15 | |
比較幸福 | 9 | ||
總計(jì) | 30 |
(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并據(jù)此判斷是否有90%的把握認(rèn)為城市幸福感指數(shù)與性別有關(guān);
(2)若感覺(jué)"非常幸福"記2分,"比較幸福"記1分,從上表男性中隨機(jī)抽取3人,記3人得分之和為,求的分布列,并根據(jù)分布列求的概率
附:,其中.
) | 0. 10 | 0. 05 | 0. 010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6. 635 | 10. 828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿(mǎn)足向量 。
(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)F1,問(wèn)是否存在過(guò)F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說(shuō)明理由。
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