Question

【題目】已知點A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面區(qū)域D是所有滿足 = +μ （1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點P（x，y）組成的區(qū)域．若區(qū)域D的面積為8，則4a+b的最小值為 （ ）
A.5
B.4
C.9
D.5+4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖所示，
延長AB到點N，延長AC到點M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內部．
∵ =（3，1）， =（1，3）， =（﹣2，2），∴ = ， = ， = ．
∴cos∠CAB= = = ， ．
∴四邊形EFGH的面積S= =8，
∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即 ．
∴4a+b=（4a+b） =5+ =9，當且僅當b=2a=3時取等號．
∴4a+b的最小值為9．
故選：C．

如圖所示，延長AB到點N，延長AC到點M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內部．利用向量的夾角公式可得cos∠CAB= ，利用四邊形EFGH的面積S= =8，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．