Question

【題目】在等比數(shù)列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log2an ， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 當(dāng) 最大時(shí)，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閍1a5+2a3a5+a2a8=25，所以，a32+2a3a5+a52=25

又an＞o，a3+a5=5，

又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，所以，a3a5=4

而q∈（0，1），所以，a3＞a5，所以，a3=4，a5=1，q= ，a1=16，

所以，an=16× =25﹣n

（2）解：bn=log2an=5﹣n，所以，bn+1﹣bn=﹣1，

所以，{bn}是以4為首項(xiàng)，﹣1為公差的等差數(shù)列

所以sn= =

所以，當(dāng)n≤8時(shí)， ＞0，

當(dāng)n=9時(shí)， =0，

n＞9時(shí)， ＜0，

當(dāng)n=8或9時(shí)， 最大

【解析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)把a(bǔ)1a5+2a3a5+a2a8=25轉(zhuǎn)化為a32+2a3a5+a52=25，求出a3+a5=5，再利用a3與a5的等比中項(xiàng)為2即可首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）先利用（1）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和為Sn ， ，進(jìn)而得到 的通項(xiàng)，即可求出當(dāng) 最大時(shí)，對(duì)應(yīng)n的值．
【考點(diǎn)精析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列．