【題目】一個(gè)函數(shù)f(x),如果對(duì)任意一個(gè)三角形,只要它的三邊長(zhǎng)a,b,c都在f(x)的定義域內(nèi),就有f(a),f(b),f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)f(x)為“保三角形函數(shù)”.
(1)判斷f1(x)=x,f2(x)=log2(6+2sinx-cos2x)中,哪些是“保三角形函數(shù)”,哪些不是,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)g(x)=lnx(x∈[M,+∞))是“保三角形函數(shù)”,求M的最小值;
(3)若函數(shù)h(x)=sinx(x∈(0,A))是“保三角形函數(shù)”,求A的最大值.
【答案】(1)見(jiàn)解析; (2)2 ; (3).
【解析】
(1)不妨設(shè)a≤c,b≤c,由函數(shù)的值域,即可得到結(jié)論;
(2)要利用“保三角形函數(shù)”的概念,求M的最小值,首先證明當(dāng)M≥2時(shí),函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù),然后證明當(dāng)0<M<2時(shí),h(x)=lnx(x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù),從而求出所求;
(3)A的最大值是,討論①當(dāng)A時(shí);②當(dāng)A時(shí);結(jié)合新定義和三角函數(shù)的恒等變換,即可得到最大值.
(1)不妨設(shè)a≤c,b≤c,
由a+b>c,可得f1(a)+f1(b)>f1(c),
即有f1(x)=x為“保三角形函數(shù)”;
由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=(sinx+1)2+4∈[4,8],
可得f2(x)∈[2,3],即有2+2>3,
可得f2(x)為“保三角形函數(shù)”;
(2)M的最小值為2
(i)首先證明當(dāng)M≥2時(shí),函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函數(shù).
對(duì)任意一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
則h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因?yàn)?/span>a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a﹣1)(b﹣1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可證明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
故函數(shù)h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函數(shù)…13分
(ii)其次證明當(dāng)0<M<2時(shí),h(x)=lnx(x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù),h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù)
因?yàn)?/span>0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng),
而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),所以h(x)=lnx 不是保三角形函數(shù).
所以,當(dāng)M<2時(shí),h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函數(shù).
綜上所述:M的最小值為2
(3)A的最大值是.
①當(dāng)A>時(shí),取a==b,c=,顯然這3個(gè)數(shù)屬于區(qū)間(0,A),
且可以作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),
但這3個(gè)數(shù)的正弦值、、1顯然不能作為任何一個(gè)三角形的三邊,
故此時(shí),h(x)=sinx,x∈(0,A)不是保三角形函數(shù).
②當(dāng)A=時(shí),對(duì)于任意的三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c∈(0,),
若a+b+c≥2π,則a≥2π-b-c>2π--=,
即a>,同理可得b>,c>,∴a、b、c∈(,),
∴sina、sinb、sinc∈(,1].
由此可得sina+sinb>+=1≥sinc,即sina +sinb>sinc,
同理可得sina+sinc>sinb,sinb+sinc>sina,
故sina、sinb、sinc 可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
若a+b+c<2π,則+<π,
當(dāng)≤時(shí),由于a+b>c,∴0<<≤,
∴0<sin<sin≤1.
當(dāng)>時(shí),由于a+b>c,∴0<<<,
∴0<sin<sin<1.
綜上可得,0<sin<sin≤1.
再由|a-b|<c<,以及y=cosx在( 0,π)上是減函數(shù),
可得cos=cos>cos>cos>0,
∴sina+sinb=2sincos>2sincos=sinc,
同理可得sina+sinc>sinb,sinb+sinc>sina,
故sina、sinb、sinc 可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
故當(dāng)A=時(shí),h(x)=sinx,x∈(0,A)是保三角形函數(shù),
故A的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從2017年1月18日開(kāi)始,支付寶用戶(hù)可以通過(guò)“掃‘福’字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得?ǎ◥(ài)國(guó)福、富強(qiáng)福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),除夕夜22:18,每一位提前集齊五福的用戶(hù)都將獲得一份現(xiàn)金紅包.某高校一個(gè)社團(tuán)在年后開(kāi)學(xué)后隨機(jī)調(diào)查了80位該校在讀大學(xué)生,就除夕夜22:18之前是否集齊五福進(jìn)行了一次調(diào)查(若未參與集五福的活動(dòng),則也等同于未集齊五福),得到具體數(shù)據(jù)如下表:
是否集齊五福 性別 | 是 | 否 | 合計(jì) |
男 | 30 | 10 | 40 |
女 | 35 | 5 | 40 |
合計(jì) | 65 | 15 | 80 |
(1)根據(jù)如上的列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”?
(2)計(jì)算這80位大學(xué)生集齊五福的頻率,并據(jù)此估算該校10000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù);
(3)為了解集齊五福的大學(xué)生明年是否愿意繼續(xù)參加集五;顒(dòng),該大學(xué)的學(xué)生會(huì)從集齊五福的學(xué)生中,選取2位男生和3位女生逐個(gè)進(jìn)行采訪(fǎng),最后再隨機(jī)選取3次采訪(fǎng)記錄放到該大學(xué)的官方網(wǎng)站上,求最后被選取的3次采訪(fǎng)對(duì)象中至少有一位男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:
記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).
(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}.
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H,將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)證明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 ,求五棱錐D′﹣ABCFE體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖,圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃,下面敘述不正確的是( )
A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)y=sinx﹣ cosx的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】試比較nn+1與(n+1)n(n∈N*)的大小,分別取n=1,2,3,4,5加以試驗(yàn),根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.
(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1 , 直線(xiàn)l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
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