【題目】如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：＋＝1上的任一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.

(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；

(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

【答案】見解析

【解析】

解：(1)證明：因為直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x與圓M相切，所以＝，

化簡得：(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，

同理：(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，

所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，

所以k1·k2＝.

因為點M(x0，y0)在橢圓C上，所以＋＝1，即y＝3－x，

所以k1k2＝＝－為定值．

(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值為9.

理由如下：

方法一：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

聯(lián)立解得

所以x＋y＝，同理得x＋y＝，

又因為k1k2＝－，

所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y

＝＋

＝＋

＝＝9.

②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，

綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．

方法二：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

因為k1k2＝－，所以yy＝xx，

因為P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓C上，

所以即

所以

＝xx，整理得x＋x＝6，

所以y＋y＝＋＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.

②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，

綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．

練習(xí)冊系列答案
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②AF＝FC1；

③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正確的個數(shù)為( )

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（3）是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)的值；若不存在，請說理由.

（參考數(shù)據(jù)： ， ）.

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