Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若不等式對恒成立，求的值；

（2）若在內(nèi)有兩個極值點，求負數(shù)的取值范圍；

（3）已知，若對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得成立，求正實數(shù)的取值集合．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解（1）若 ，則當(dāng)時，，不合題意；

若 ，則當(dāng)時，，不合題意；

若 ，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足題意，因此的值為 ……………4分

（2）,

令，則

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此………6分

(i)當(dāng)時， 在內(nèi)至多有一個極值點；

(ii) 當(dāng)時，由于 所以 ，而，因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有一個零點，在內(nèi)有且僅有一個極值點；………………………8分

(iii)當(dāng)時，因此在上有且僅有一個零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有兩個零點，在內(nèi)有且僅有兩個極值點；

綜上負數(shù)的取值范圍為………………………10分

（3）因為對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得成立，所以函數(shù)的值域為．

在上是增函數(shù)，其值域為 ………………11分

對于函數(shù)，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)時，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)．

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其值域為，

又，不符合題意，舍去；………………13分

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域為，

由題意得，即 ①

記則

當(dāng)時，，在上為單調(diào)減函數(shù)．

當(dāng)時，，在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以，當(dāng)時，有最小值，

從而恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時，) ②………………15分

由①②得，，所以

綜上所述，正實數(shù)的取值集合為．………………16分

【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)及零點存在定理研究極值點，利用單調(diào)性研究不等式恒成立等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．