Question

橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（－c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

  （Ⅰ）求離心率e的取值范圍；

 （Ⅱ）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為求此時(shí)橢圓G的方程；（ⅱ）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

（1）；（2）(i)所求橢圓方程為，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

解析:

（I）設(shè)M（x₀，y₀）

                 ①

又  ②

由②得代入①式整理得

又

解得

（Ⅱ）（i）當(dāng)

設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則

若0

由（舍去）

若b≥3，當(dāng)y=－3時(shí)，|HN|²有最大值2b²+18

由2b²+18=50得b²=16

∴所求橢圓方程為

（ii）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則由

             ③

又直線(xiàn)PQ⊥直線(xiàn)l    ∴直線(xiàn)PQ方程為

將點(diǎn)Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

由③④得Q

（解1）而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部   

由此得

故當(dāng)時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

（解2）∴AB所在直線(xiàn)方程為

由得

顯然1+2k²≠0

而

   

直線(xiàn)l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B  ∴△＞0

解得

故當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

（ii）另解；設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b

由得

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則

      ③

又直線(xiàn)PQ⊥直線(xiàn)l    ∴直線(xiàn)PQ方程為

將點(diǎn)Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

將③代入④⑤

∵x₁，x₂是（*）的兩根

⑥

⑤代入⑥得

∴當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。