【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點.

(1)若,求曲線的方程;

(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,求證:弦的中點必在曲線的另一條漸近線上;

3)對于(1)中的曲線,若直線過點交曲線于點,求的面積的最大值.

【答案】1;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)本題曲線方程的求法實質(zhì)為待定系數(shù)法,即根據(jù)條件列出兩個方程組,解出對應(yīng)參數(shù)即可(2)本題證明方法為以算代證,即先求出弦的中點坐標(biāo),再代入雙曲線漸近線方程進行驗證.先根據(jù)條件設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,根據(jù)韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式求出弦中點橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo)),代入直線方程可得弦中點縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)),再代入雙曲線另一漸近線方程進行驗證.

3)三角形的面積可轉(zhuǎn)化為等于兩個三角形面積之差,即,所以只需根據(jù)直線方程(設(shè)直線斜率)與橢圓方程,利用韋達(dá)定理表示出,并根據(jù)判別式大于零列出直線斜率取值范圍,最后根據(jù)基本不等式求最值.

1

則曲線的方程為

2)曲線的漸近線為 ,如圖,設(shè)直線

又由數(shù)形結(jié)合知

設(shè)點,則

即點 在直線

3)由(1)知,曲線,點

設(shè)直線的方程為

設(shè)由韋達(dá)定理:

,

,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立

時,

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點軸上,過坐標(biāo)原點的直線兩點,,面積的最大值為

1)求橢圓的方程;

2是橢圓上與不重合的一點,證明:直線的斜率之積為定值;

3)當(dāng)點在第一象限時,軸,垂足為,連接并延長交于點,求的面積的最大值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線C交于兩點.

1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

2)求

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【題目】近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,共享經(jīng)濟覆蓋的范圍迅速擴張,繼共享單車、共享汽車之后,共享房屋以“民宿”、“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了天.得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表,為收費標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),為入住天數(shù)(單位:),以頻率作為各自的“入住率”,收費標(biāo)準(zhǔn)與“入住率”的散點圖如圖

x

50

100

150

200

300

400

t

90

65

45

30

20

20

(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機抽取兩家深入調(diào)查,記為“入住率”超過的農(nóng)家樂的個數(shù),求的概率分布列;

(2)令,由散點圖判斷哪個更合適于此模型(給出判斷即可,不必說明理由)?并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程.(結(jié)果保留一位小數(shù))

(3)若一年按天計算,試估計收費標(biāo)準(zhǔn)為多少時,年銷售額最大?(年銷售額入住率收費標(biāo)準(zhǔn)

參考數(shù)據(jù):

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【題目】以下4個命題:

1)三個點可以確定一個平面;

2)平行于同一個平面的兩條直線平行;

3)拋物線對稱軸為軸;

4)同時垂直于一條直線的兩條直線一定平行;

正確的命題個數(shù)為__

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為、,左右頂點分別是、,長軸長為,是以原點為圓心,為半徑的圓的任一條直徑,四邊形的面積最大值為.

(1)求橢圓的方程;

(2)不經(jīng)過原點的直線與橢圓交于兩點,

①若直線的斜率分別為,,且,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);

②若直線的斜率是直線斜率的等比中項,求面積的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求橢圓的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點的極坐標(biāo)為,直線與橢圓相交于,兩點,求的值.

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(2)求證:

(3)設(shè)二面角為60°,,,求長.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為中心,以坐標(biāo)軸為對稱軸的幫圓C經(jīng)過點M(2,1),N.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點的A,B兩點,當(dāng)△AMB面積取得最大值時,求直線AB的方程.

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