【題目】如圖，三棱柱中，，平面.

（1）證明：；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析；（2）余弦值為.

【解析】分析: (1)先證明平面,即證.(2)先證明,,再建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的余弦值.

詳解:（1）證明：∵平面，∴.

∵，

∴，∴平面，∴.

（2）解：∵平面，∴，

∴四邊形為菱形，∴.

又，∴與均為正三角形.

取的中點，連接，則.

由（1）知，則可建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)，則，，，，.

∴，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，

∴∴

取，則為平面的一個法向量.

又為平面的一個法向量，

∴.

又二面角的平面角為鈍角，所以其余弦值為.

點睛:本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的計算,主要考查學生的空間想象能力和計算能力.屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知線C的極坐標方程為：ρ＝2sin（θ+），過P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點．

（1）求出直線l與曲線C的直角坐標方程．

（2）求｜PM｜2+｜PN｜2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示, 是邊長為3的正方形, 平面與平面所成角為.

(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是（ ）

A.這幾年生活水平逐年得到提高

B.生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2015年

C.生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2016年

D.雖然2017年的生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)略有降低，因而生活水平有較大的改善

E.2016年生活價格指數(shù)上漲的速度與2017年生活價格指數(shù)下降的速度相同

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查中學生每天玩游戲的時間是否與性別有關(guān),隨機抽取了男、女學生各50人進行調(diào)查,根據(jù)其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）求所調(diào)查學生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù);

（2）將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學生稱為“游戲迷”,已知“游戲迷”中女生有6人;根據(jù)已知條件,完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“游戲迷”和性別關(guān)系;

非游戲迷

游戲迷

合計

男

女

合計

附:(其中為樣本容量).

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）

（1）請將利潤y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；

（2）當月產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關(guān)系，試分別就，，三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．

車速/（km/h）

10

15

30

40

50

剎車距離/m

4

7

12

18

25

車速/（（km/h）

60

70

80

90

100

剎車距離/m

34

43

54

66

80

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某縣共有90間農(nóng)村淘寶服務(wù)站，隨機抽取5間，統(tǒng)計元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)．

（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；

（2）若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)站定義為優(yōu)秀服務(wù)站，其余為非優(yōu)秀服務(wù)站．根據(jù)莖葉圖推斷90間服務(wù)站中有幾間優(yōu)秀服務(wù)站？

（3）從隨機抽取的5間服務(wù)站中再任取2間作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1間是優(yōu)秀服務(wù)站的概率．

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