【題目】如圖所示, 是邊長為3的正方形, 平面與平面所成角為.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ) .
【解析】試題分析: (1)由線面垂直的判定定理證明; (2)建立空間直角坐標(biāo)系, 寫出各點坐標(biāo), 由于點M在線段BD上,所以設(shè) ,求出平面BEF的法向量 ,由 ,求出點M的坐標(biāo).
試題解析: (Ⅰ)證明:∵平面,∴,
∵是正方形,∴,
又,
∴平面.
(Ⅱ)解:因為兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
因為與平面所成角為,即,
所以,
由,可知,
則,
所以,
設(shè)平面的法向量,
則,即.
令得, ,
又點是線段上一動點,
設(shè),則
因為平面,
所以,即
解得.
此時,點的坐標(biāo)為(2,2,0)
即當(dāng)時, 平面.
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【題目】如圖,四棱錐中, 平面, // , , , 分別為
線段, 的中點.
(Ⅰ)求證: //平面;
(Ⅱ)求證: 平面;
(Ⅲ)寫出三棱錐與三棱錐的體積之比.(結(jié)論不要求證明)
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【題目】(本題滿分12分)為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”,某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動.為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計.按照, , , , 的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在, 的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加“中國漢字聽寫大會”,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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【題目】已知橢圓過點,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓的上頂點作直線交拋物線于兩點, 為原點.
①求證: ;
②設(shè)、分別與橢圓相交于、兩點,過原點作直線的垂線,垂足為,證明: 為定值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時,在(1)的條件下, 成立.
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【題目】某大理石工廠初期花費98萬元購買磨大理石刀具,第一年需要各種費用12萬元,從第二年起,每年所需費用比上一年增加4萬元,該大理石加工廠每年總收入50萬元.
(1)到第幾年末總利潤最大,最大值是多少?
(2)到第幾年末年平均利潤最大,最大值是多少?
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【題目】已知橢圓 ,離心率,它的長軸長等于圓的直徑.
(1)求橢圓 的方程;
(2)若過點的直線交橢圓于兩點,是否存在定點 ,使得以為直徑的圓經(jīng)過這個定點,若存在,求出定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由?
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【題目】如圖,平面平面, 直線, 是內(nèi)不同的兩點, 是內(nèi)不同的兩點,且直線上分別是線段的中點,下列判斷正確的是( )
A. 當(dāng)時, 兩點不可能重合
B. 兩點可能重合,但此時直線與不可能相交
C. 當(dāng)與相交,直線平行于時,直線可以與相交
D. 當(dāng)是異面直線時,直線可能與平行
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【題目】如圖,五面體中,四邊形是菱形, 是邊長為2的正三角形, , .
(1)證明: ;
(2)若在平面內(nèi)的正投影為,求點到平面的距離.
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