【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)關于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(3)討論函數(shù)極值點的個數(shù).
【答案】(1)-1;(2);(3)詳見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為,解方程可得的值;
(2)由題意可得,令,運用參數(shù)分離和構造,求得單調(diào)性,可得的范圍;
(3)求出函數(shù)的導數(shù),令,由,即為,運用參數(shù)分離,令,可得,求得的單調(diào)區(qū)間,可得的范圍,即有的極值點的個數(shù).
(1)函數(shù)的導數(shù)為:
圖象在處的切線斜率為
切線與直線垂直,可得
解得
(2)關于的不等式在上恒成立
即為在恒成立.
即有
令,可得
令,
即在遞減
當時,,可得
可得,即的取值范圍是
(3)由的導數(shù)為
令,由
即為
若時,方程不成立
若時,
令,可得
當即時,遞減;即時,遞增;
時,遞減.
則當時,
顯然,遞增;或時,遞減
即有為極值點;
當時,有一個解,有一個極值點;
當時,有三個解,有三個極值點
綜上可得,時,有一個極值點;
時,有一個極值點;
時,有三個極值點
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【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標系與參數(shù)方程
已知曲線,直線:(為參數(shù)).
(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.
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【題目】若函數(shù)圖象上存在兩個點A,B關于原點對稱,則點對稱為函數(shù)的“友好點對”且點對與可看作同一個“友好點對”若函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù),恰好有兩個“友好點對”則實數(shù)m的取值范圍為
A. B. C. D.
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【題目】如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.
為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了與時間變量的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為1,2,…,17)建立模型
①;
根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為1,2,…,7)建立模型
②.
利用這兩個模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值分別為_____,_____;并且可以判斷利用模型_____得到的預測值更可靠.
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【題目】在三棱柱中,,側(cè)面是邊長為2的正方形,點,分別在線段、上,且,,.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓 的離心率為,兩焦點與短軸的一個端點的連線構成的三角形面積為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設與圓相切的直線交橢圓于,兩點(為坐標原點),的最大值.
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【題目】曲線C1:y=cosx,曲線C2:y=sin2x,下列說法正確的是( )
A.將C1上所有點橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標不變,再將所得曲線向左平移個單位,得到C2
B.將C1上所有點橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,再將所得曲線向左平移個單位,得到C2
C.將C1上所有點橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標不變,再將所得曲線向右平移個單位,得到C2
D.將C1上所有點橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,再將所得曲線向右平移個單位,得到C2
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=cosB.
(1)求角B的大;
(2)若b=2,△ABC的面積為,求a,c.
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【題目】某中學為了了解全校學生的上網(wǎng)情況,在全校采用隨機抽樣的方法抽取了40名學生(其中男女生人數(shù)恰好各占一半)進行問卷調(diào)查,并進行了統(tǒng)計,按男女分為兩組,再將每組學生的月上網(wǎng)次數(shù)為5組: , , , , ,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出的值;
(Ⅱ)求在抽取的40名學生中月上網(wǎng)次數(shù)不少于15次的學生人數(shù);
(Ⅲ)在抽取的40名學生中,從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學生中隨機抽取2人,求至少抽到1名女生的概率.
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