【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程;
(2)若存在x1 , x2(x1≠x2),使得g(x1)﹣g(x2)=λ[f(x2)﹣f(x1)]成立,其中λ為常數(shù),求證:λ>e;
(3)若對任意的x∈(0,1],不等式f(x)g(x)≤a(x﹣1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:y=f(x)g(x)= ,y′= ,

x=1時,y=0,y′=

故切線方程是:y= x﹣


(2)解:證明:由g(x1)﹣g(x2)=λ[f(x2)﹣f(x1)],

得:g(x1)+λf(x1)=g(x2)+λf(x2),

令h(x)=g(x)+λf(x)=lnx+ ,(x>0),

h′(x)= ,

令ω(x)=ex﹣λx,則ω′(x)=ex﹣λ,

由x>0,得ex>1,

①λ≤1時,ω′(x)>0,ω(x)遞增,

故h′(x)>0,h(x)遞增,不成立;

②λ>1時,令ω′(x)=0,解得:x=lnλ,

故ω(x)在(0,lnλ)遞減,在(lnλ,+∞)遞增,

∴ω(x)≥ω(lnλ)=λ﹣λlnλ,

令m(λ)=λ﹣λlnλ,(λ>1),

則m′(λ)=﹣lnλ<0,故m(λ)遞減,

又m(e)=0,

若λ≤e,則m(λ)≥0,ω(x)≥0,h(x)遞增,不成立,

若λ>e,則m(λ)<0,函數(shù)h(x)有增有減,滿足題意,

故λ>e


(3)解:若對任意的x∈(0,1],不等式f(x)g(x)≤a(x﹣1)恒成立,

﹣a(x﹣1)≤0在(0,1]恒成立,

令F(x)= ﹣a(x﹣1),x∈(0,1],F(xiàn)(1)=0,

F′(x)= ﹣a,F(xiàn)′(1)= ﹣a,

①F′(1)≤0時,a≥ ,F(xiàn)′(x)≤ 遞減,

而F′(1)=0,故F′(x)≥0,F(xiàn)(x)遞增,F(xiàn)(x)≤F(1)=0,成立,

②F′(1)>0時,則必存在x0,使得F′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增,F(xiàn)(x)<F(1)=0不成立,

故a≥


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計算x=1時y和y′的值,求出切線方程即可;(2)令h(x)=g(x)+λf(x)=lnx+ ,(x>0),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論λ的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證明結(jié)論即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為 ﹣a(x﹣1)≤0在(0,1]恒成立,令F(x)= ﹣a(x﹣1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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(1)問四邊形是怎樣的四邊形?證明你的結(jié)論.

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B.350
C.400
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