【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問(wèn)中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）；（III）為指數(shù)型和.

【解析】

（I）通過(guò)計(jì)算證明證得，來(lái)證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（II）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通項(xiàng)公式，對(duì)分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，根據(jù)“指數(shù)型和”的定義，求出符合題意的“指數(shù)型和”.

（I），.由于，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.，.

（II）由（I）得，，所以.因?yàn)?/span>，.當(dāng)時(shí)，

，，而，所以，即，化簡(jiǎn)得，由于當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為，所以

，又，所以的最小值為.

（III）由（I）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也符合上式，所以對(duì)正整數(shù)都有.由，（且），只能是不小于的奇數(shù).

①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由于和都是大于的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，，所以，且，相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”；

② 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由于是個(gè)奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時(shí)沒(méi)“指數(shù)型和”.

綜上所述，中的項(xiàng)存在“指數(shù)型和”，為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】微信運(yùn)動(dòng)，是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).用戶可以通過(guò)關(guān)注微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的或點(diǎn)贊.微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)為了解用戶的一些情況，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取了100名用戶，統(tǒng)計(jì)了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：

(萬(wàn)步)

(人)

5

20

50

15

5

5

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的坐標(biāo)平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標(biāo)明各小長(zhǎng)方形的高；

（2）若視頻率分布為概率分布，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取3人，求至少2人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率；

（3）若視頻率分布為概率分布，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取2人，其中每日走路不超過(guò)0.8萬(wàn)步的有人，超過(guò)1.2萬(wàn)步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費(fèi)

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；

(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當(dāng)時(shí)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某苗木基地常年供應(yīng)多種規(guī)格的優(yōu)質(zhì)樹苗.為更好地銷售樹苗，建設(shè)生態(tài)文明家鄉(xiāng)和美好家園，基地積極主動(dòng)地聯(lián)系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的購(gòu)買合同的概率分別、、，且基地是否得到三家公司的購(gòu)買合同是相互獨(dú)立的.

（1）若公司甲計(jì)劃與基地簽訂300棵銀杏實(shí)生苗的銷售合同，每棵銀杏實(shí)生苗的價(jià)格為90元，栽種后，每棵樹苗當(dāng)年的成活率都為0.9，對(duì)當(dāng)年沒(méi)有成活的樹苗，第二年需再補(bǔ)種1棵.現(xiàn)公司甲為苗木基地提供了兩種售后方案，

方案一：公司甲購(gòu)買300棵銀杏樹苗后，基地需提供一年一次，共計(jì)兩年的補(bǔ)種服務(wù)，且每次補(bǔ)種人工及運(yùn)輸費(fèi)用平均為800元；

方案二：公司甲購(gòu)買300棵銀杏樹苗后，基地一次性地多給公司甲60棵樹苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行負(fù)責(zé).

若基地首次運(yùn)送方案一的300棵樹苗及方案二的360棵樹苗的運(yùn)費(fèi)及栽種費(fèi)用合計(jì)都為1600元，試估算兩種方案下苗木基地的合同收益分別是多少？

（2）記為該基地得到三家公司購(gòu)買合同的個(gè)數(shù)，若，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，，，，且，.

（1）求證：；

（2）若四棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使二而角等于45°？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（ ）

A.56383B.57171C.59189D.61242

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是一個(gè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，其中，，成等差數(shù)列，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，，既成等比數(shù)列，又成等差數(shù)列.

（i）求的通項(xiàng)公式；

（ii）對(duì)于數(shù)列，若且，或且，則為數(shù)列的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，求的轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù).

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