【題目】如圖，在四棱柱中，，，，且，.

（1）求證：；

（2）若四棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，通過證明，證得平面，由此證得.

（2）先證得平面，由此判斷出是直線與平面所成角，通過四棱柱的體積求得四棱柱的高，解三角形求得.

（1）連接，在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，

∵，∴四邊形為菱形，∴，

又∵，

而和都包含于平面，且，

所以平面，所以.

（2）∵，，，

∴平面，所以是直線與平面所成角.

因為，，且，，可知四邊形為直角梯形，且為直角腰，取邊中點，則四邊形為矩形，可求得，得梯形的面積為，又因為四棱柱的體積為，得四棱柱的高為，

因為平面，得平面平面，在菱形內(nèi)作邊上的高，垂足為，則平面，

即.故菱形內(nèi)，則為等邊三角形，，

求得.（或證明點與點重合，求得和，求得）

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】微信運動，是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號．用戶可以通過關(guān)注微信運動公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進(jìn)行運動量的或點贊．微信運動公眾號為了解用戶的一些情況，在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶，統(tǒng)計了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：

(萬步)

(人)

5

20

50

15

5

5

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的坐標(biāo)平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標(biāo)明各小長方形的高；

（2）利用分層抽樣的方法，從步數(shù)在（萬步）中抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求步數(shù)在（萬步）的人恰有1人的概率；

（3）這100名用戶中，的用戶為男生，這些男生的步數(shù)超過1.2萬步的人為20人，是否有的把握認(rèn)為運動步數(shù)超過1.2萬步與性別有關(guān)？

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段的中點，且.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時，給出一個新數(shù)列，其中，設(shè)這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個零點.

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【題目】為響應(yīng)黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導(dǎo)一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟收入.紫甘薯對環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數(shù)：

經(jīng)計算： ， ， ， ， ， ， ，其中分別為試驗數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)， .

（1）若用線性回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到）；

（2）若用非線性回歸模型求得關(guān)于的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)為.

（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；

（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時該批紫甘薯死亡株數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：對于一組數(shù)據(jù)， ，……， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ；相關(guān)指數(shù)為： .

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【題目】在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側(cè)面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點的平面分別交，于點，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.

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