Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}、等差數(shù)列{bn}，滿足a1＞0，b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3且數(shù)列{an}唯一．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3 ， 且{bn}為等差數(shù)列，
∴2a2=（a1﹣1）+a3 ，
即2a1q=（a1﹣1）+a1q2 ，
即（q﹣1）2=，
∵數(shù)列{an}唯一，
∴q在{q|q≠0}上只有一個(gè)解，
∴（q﹣1）2=中有一個(gè)解為q=0，
故=1，此時(shí)，a1=1，q=2；
故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{bn}是以0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
故an=2n﹣1 ， bn=2n﹣2；
（2）anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ，
Sn=01+22+4×4+6×8+…+（2n﹣2）2n﹣1 ，
2Sn=02+24+4×8+6×16+…+（2n﹣2）2n ，
兩式作差可得，
Sn=﹣2×2+（﹣2）×4+（﹣2）×8+…+（﹣2）×2n﹣1+（2n﹣2）2n
=（2n﹣2）2n﹣（22+23+24+…+2n）
=（n﹣1）2n+1﹣
=（n﹣2）2n+1+4．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，從而可得（q﹣1）2= ， 從而結(jié)合數(shù)列{an}唯一可得a1=1，q=2；從而解得．
（2）化簡(jiǎn)anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ， 結(jié)合通項(xiàng)公式的形式可知利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．