【題目】給定方程: ,則下列命題中:

①該方程沒有小于0的實(shí)數(shù)解;

②該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解;

③該方程在(-∞,0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解;

④若x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0>-1.

正確的命題是________

【答案】②③④

【解析】試題分析:根據(jù)正弦函數(shù)的符號(hào)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,故不正確;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的有界性,可得方程有無(wú)數(shù)個(gè)正數(shù)解,故正確;根據(jù)y=x﹣1的單調(diào)性與正弦函數(shù)的有界性,

分析可得當(dāng)x≤﹣1時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)解,當(dāng)﹣1x0時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解,由此可得③④都正確.

解:對(duì)于,若α是方程(x+sinx﹣1=0的一個(gè)解,

則滿足(α=1﹣sinα,當(dāng)α為第三、四象限角時(shí)(α1,

此時(shí)α0,因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,得不正確;

對(duì)于,原方程等價(jià)于(x﹣1=﹣sinx

當(dāng)x≥0時(shí),﹣1<(x﹣1≤0,而函數(shù)y=﹣sinx的最小值為﹣1

且用無(wú)窮多個(gè)x滿足﹣sinx=﹣1

因此函數(shù)y=x﹣1y=﹣sinx的圖象在[0,+∞)上有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)

因此方程(x+sinx﹣1=0有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解,故正確;

對(duì)于,當(dāng)x0時(shí),

由于x≤﹣1時(shí)(x﹣1≥1,函數(shù)y=x﹣1y=﹣sinx的圖象不可能有交點(diǎn)

當(dāng)﹣1x0時(shí),存在唯一的x滿足(x=1﹣sinx,

因此該方程在(﹣∞,0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,得正確;

對(duì)于,由上面的分析知,

當(dāng)x≤﹣1時(shí)(x﹣1≥1,而﹣sinx≤1x=﹣1不是方程的解

函數(shù)y=x﹣1y=﹣sinx的圖象在(﹣∞﹣1]上不可能有交點(diǎn)

因此只要x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0﹣1

故答案為:②③④

練習(xí)冊(cè)系列答案
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