【題目】已知橢圓:經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn),若,求直線的方程.

【答案】(1);(2

【解析】

1)由橢圓的離心率可得,,從而使橢圓方程只含一個(gè)未知數(shù),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程后,求得,進(jìn)而得到橢圓的方程為

2)因?yàn)橹本過(guò)定點(diǎn),所以只要求出直線的斜率即可,此時(shí)需對(duì)直線的斜率分等于0和不等于0兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、,利用得到關(guān)于的方程,并求得.

(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,

所以,橢圓的方程為,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得,

解得,則,,

因此,橢圓的方程為.

2當(dāng)直線斜率為0時(shí),與橢圓交于,,而.

此時(shí),故不符合題意.

當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,

將直線的方程代入橢圓的方程,并化簡(jiǎn)得,

,解得,

由韋達(dá)定理可得,,

,同理可得,

所以

,即

解得:,符合題意

因此,直線的方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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