【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ADEF為正方形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC=2.
(1)證明:平面ADEF⊥平面ABF.
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD,二面角A-BC-E為30°,三棱錐A-BDF的外接球的球心為O,求異面直線OC與DF所成角的余弦值
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出AD⊥AF,AD⊥AB,AD⊥平面ABF,由此能證明平面ADEF⊥平面ABF;
(2)推導(dǎo)出BC⊥平面ABF,BC⊥BF,再由BC⊥AB,得二面角A﹣BC﹣E的平面角為∠ABF=30°,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線OC與DF所成角的余弦值.
(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛DEF為正方形,
所以AD⊥AF,
又AD⊥AB,AB∩AF=A,
所以AD⊥平面ABF,
因?yàn)?/span>,
所以平面ADEF⊥平面ABF.
(2)解:因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,AD⊥AF,平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以AF⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥平面ABF,又AD∥BC,則BC⊥平面ABF,
從而BC⊥BF,
又BC⊥AB,所以二面角A-BC-E的平面角為∠ABF=30°.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖所示,
則.
因?yàn)槿忮FA-BDF的外接球的球心為O,所以O(shè)為線段BE的中點(diǎn),
則O的坐標(biāo)為,,
又,則,
故異面直線OC與DF所成角的余弦值為.
評(píng)分細(xì)則:
第(2)問(wèn)中,若未證明AF⊥平面ABCD,直接建立空間直角坐標(biāo)系,則扣1分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若,,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正方體的棱上(除去棱AD)到直線與的距離相等的點(diǎn)有個(gè),記這個(gè)點(diǎn)分別為,則直線與平面所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問(wèn)題,規(guī)則如下:
①每位參加者記分器的初始分均為10分,答對(duì)問(wèn)題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分,答錯(cuò)任一題減2分;
②每回答一題,記分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí),答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局;
③每位參加者按問(wèn)題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束.
假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.
(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;
(2)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Εξ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,角, , 所對(duì)的邊分別為, , ,且.
(Ⅰ)求角的大;
(Ⅱ)已知, 的面積為,求的周長(zhǎng).
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】【試題分析】(I)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知,可求得的值,進(jìn)而求得的大小.(II)利用余弦定理和三角形的面積公式列方程組求解的的值,進(jìn)而求得三角形周長(zhǎng).
【試題解析】
(Ⅰ)由及正弦定理得, ,
,∴,
又∵,∴.
又∵,∴.
(Ⅱ)由, ,根據(jù)余弦定理得,
由的面積為,得.
所以 ,得,
所以周長(zhǎng).
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】為促進(jìn)農(nóng)業(yè)發(fā)展,加快農(nóng)村建設(shè),某地政府扶持興建了一批“超級(jí)蔬菜大棚”.為了解大棚的面積與年利潤(rùn)之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取了其中的7個(gè)大棚,并對(duì)當(dāng)年的利潤(rùn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理后得到了如下數(shù)據(jù)對(duì)比表:
大棚面積(畝) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利潤(rùn)(萬(wàn)元) | 6 | 7 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
由所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,各樣本點(diǎn)都分布在一條直線附近,并且與有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)小明家的“超級(jí)蔬菜大棚”面積為8.0畝,估計(jì)小明家的大棚當(dāng)年的利潤(rùn)為多少;
(Ⅲ)另外調(diào)查了近5年的不同蔬菜畝平均利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元),其中無(wú)絲豆為:1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒為:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,請(qǐng)分析種植哪種蔬菜比較好?
參考數(shù)據(jù): , .
參考公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,分別為三邊中點(diǎn),將分別沿向上折起,使重合,記為,則三棱錐的外接球表面積的最小值為( )
A.B.C.D.
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